4月 01

高数-微积分 复习

1.导数:

函数y = f(x)在点$x_0$的某个邻域内有定义,当自变量x在$x_0$处取得增量$\Delta x$,对应的函数取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$,那么y=f(x)在$x_0$处的导数为:

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

记为(注意下面的形式,呵呵,原来都不记得了,特别是dy/dx就是导数的意思都忘记了:(

$y'\big | _{x=x_0}$    或   $\frac{dy}{dx}\big|_{x=x_0}$   或   $\frac{df(x)}{dx}\big|_{x=x_0}$

二阶导数表示为:

$y''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx} \right)$

要记得上面这个式子最后一部分,二阶导数是对(dy/dx)的导数,可不是$dy^2/dx^2$

2. 隐函数的导数:

       像$e^y+xy-e=0$这样的函数不是y=f(x)的形状,没法直接求道,需要用隐函数求导方法,方程两边同时对x求导(这里把y看成y=y(x)即x的一个函数,这样对于任意x与y(x)构成的等式左边部分$e^{y(x)}+x*y(x)-e$恒等于0,所以两边同时对x求导得到的所有导数也恒等):

步骤如下:

$\frac{d}{dx}(e^y+xy-e) = (e^y)'y'(x)+x'y+y'(x)x=e^y\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0$

这样就可以求出dy/dx的表达式啦。

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